Теорема синусов

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC, сторона AB = c, сторона BC = a, сторона CA = b. 

Попытаемся доказать, что a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Воспользуемся теоремой о площади треугольника, и запишем её для каждой пары сторон и соответствующего им угла:

S = (1/2)*a*b*sin(C),

S = (1/2)*b*c*sin(A),

S = (1/2)*c*a*sin(B).

Так как левые части у первых двух равенств одинаковые, то правые части можно приравнять между собой. Получим (1/2)*a*b*sin(C) = (1/2)*b*c*sin(A). Сократим это равенство на ½*b, получим:

a*sin(C) = c*sin(A).

По свойству пропорции получаем: 

a/sin(A) = c/sin(C).

Так как левые части у второго и третьего равенств одинаковые, то правые части можно приравнять между собой. Получим (1/2)*b*c*sin(C) = (1/2)*c*a*sin(B). Сократим это равенство на 1/2*c, получим: 

b*sin(A) = a*sin(B).

По свойству пропорции получаем:

a/sin(A) = b/sin(B).

Объединив полученные два результата получаем: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Что и требовалось доказать.

Решение задачи

Также можно доказать следующий факт. Отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметр описанной около треугольника окружности.

Другими словами, для любого треугольника ABC, у которого сторона AB = c, сторона BC = a, сторона CA = b, имеют место следующие равенства: a/sin(A) =b/sin(B) = c/sin(C) = 2*R. Здесь R – радиус описанной около треугольника окружности.

Нужна помощь в учебе?