Формула Ньютона - Лейбница

Если f есть непрерывная и неотрицательная на некотором отрезке [a;b] функция, а F есть её некоторая первообразная на этом отрезке, тогда площадь криволинейной трапеции S равна приращению первообразной на данном отрезке [a;b]. 

Эту теорему можно записать следующей формулой:

S = F(b) – F(a)

Интеграл функции f(x) от а до b будет равен S. Здесь и далее, для обозначения определенного интеграла от некоторой функции f(x), с пределами интегрирования от a до b, будем использовать следующую запись (a;b)∫f(x). Ниже представлен пример как это будет выглядеть.

Формула Ньютона-Лейбница 

Значит, мы можем приравнять между собой эти два результата. Получим: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), при условии, что F есть первообразная для функции f на [a;b]. Эта формула имеет название формулы Ньютона – Лейбница. Она будет верна для любой непрерывной на отрезке [a;b] функции f.

Формула Ньютона-Лейбница применяется для вычисления интегралов. Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1: вычислить интеграл. Находим первообразную для подынтегральной функции x². Одной из первообразных будет являться функция (x³)/3. 

Теперь используем формулу Ньютона – Лейбница:

(-1;2)∫x²dx = (2³)/3 – ((-1)³)/3 = 3

Ответ: (-1;2)∫x²dx = 3.

Пример 2: вычислить интеграл (0;pi)∫sin(x)dx.

Находим первообразную для подынтегральной функции sin(x). Одной из первообразных будет являться функция –cos(x). Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.

Ответ: (0;pi)∫sin(x)dx=2

Иногда для простоты и удобства записи приращение функции F на отрезке [a;b] (F(b)-F(a)) записывают следующим образом:

Используя такое обозначение для приращения, формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в следующем виде:

Как уже отмечалось выше, это лишь сокращение для простоты записи, больше ни на что эта запись не влияет. Эта запись и формула (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) будут эквивалентны.

Нужна помощь в учебе?