Применения непрерывности

График непрерывных функций, изучаемых в школьном курсе математики, можно нарисовать «не отрывая карандаш от бумаги», так как он представляет собой сплошную линию. Если на некотором интервале (a;b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она будет сохранять постоянный знак.

Это свойство очень легко для понимания. Функция, расположенная выше оси Ох, имеет знак «плюс», функция, расположенная ниже оси Ох, имеет знак «минус». Если линия функции не пересечет ось Ох (на оси Ох функция равна нулю), то она явно не изменит свой знак.

Метод интервалов

Одним из ярких применений свойств непрерывности функций является метод интервалов, который используется для решения неравенств с одной переменной. Пусть некоторая функции непрерывна на интервале А и обращается в нуль в конечном числе точек принадлежащих этому интервалу.

Используя свойство, приведенное выше, эти точки будут разбивать весь интервал А на промежутки, в которых функция будет сохранять свой знак. Чтобы определить знаки всех промежутков, достаточно знать знак одного любого из этих интервалов.

Пример функции, которая не является непрерывной

До сих пор мы сталкивались только с непрерывными функциями. Но существуют функции, которые не являются непрерывными в каждой точке, в которой они определены. Например, функция f(x) = {x}, где {x} – есть дробная часть числа х. Её график изображен на следующем рисунке.

Легко заметить, что основное свойство непрерывности функции в точке х0 равное любому целому числу, не будет выполняться. Но в тоже время функция f(x) = {x} непрерывна во всех других точках, на которых она определена, кроме точек, где x равно целому числу. На графике такие точки отмечены выколотыми кружками.

Функции непрерывные, но не дифференцируемые в данной точке

Есть функции которые являются непрерывными в каждой точке своей области определения. Но при этом не будут иметь производные в некоторых точках. Например, функция y=|x| непрерывна на все числовой оси, но при этом не дифференцируема в точке х = 0. Ниже представлен график этой функции.

Нужна помощь в учебе?