Примеры применения производной к исследованию функции

Признаки возрастания функции

Если f’(x)>0 на некотором промежутке, то функция f(x) возрастает на данном промежутке

Признак убывания функции

Если f’(x)<0 на некотором промежутке, то функция f(x) убывает на данном промежутке.

Строгое доказательство этих двух признаков изучается в курсе математического анализа, здесь же мы его приводить не будем.

Применение этих признаков на конкретном примере

Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x^3 – 2*x^2 + x.

Найдем производную этой функции f’(x) = (x^3 – 2*x^2 + x)’ = 3*x^2 – 4*x +1. 

Найдем стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

Решим уравнение f’(x)=0. 

3*x^2 – 4*x +1=0. 

Это несложное квадратное уравнение решаем любым из известных вам способов, получаем два корня: х1=1/3, х2=1. 

Определим знак производной в промежутках на которые эти два корня разбили всю числовую ось. Для этого разложим квадратный трехчлен на множители.

Получим f’(x) = 3*(x-1/3)*(x-1).

Производная положительна на промежутке x<1/3 и на промежутке х>1. А значит, функция на этих промежутках возрастает.

На промежутке от 1/3 до 1 производная отрицательна, следовательно, в этом интервале функция убывает.

Точки максимума и минимума - экстремумы функции

Помимо, определения промежутков возрастания и убывания функции, с помощью производной при исследовании функции находят точки максимума и минимума этой функции.

Точки максимума и минимума функции называют еще точками экстремума. 

Для отыскания точек экстремума существует отдельный признак.

Достаточное условие существование экстремума в точке.

Пусть f(x) некоторая дифференцируемая на интервале (a;b)  функция. Точка х0 принадлежит этому интервалу и f’(x0)=0.

Тогда:

• 1. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «плюса» на  «минус», тогда точка х0 является точкой максимума функции.
• 2. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «минуса» на  «плюс», тогда точка х0 является точкой минимума функции 

Для функции рассмотренной выше найдем точки экстремума функции и значения функции в них.

Мы нашли две стационарные точки: х1=1/3, х2=1.

Так как слева от точки х=1/3 функция возрастает, а справа убывает, точка х=1/3 будет являться точкой максимума.

Точка х=1 будет являться точкой минимума, так как сева от нее функции убывает, а справа возрастает.

Посчитаем значение функции в точках максимума и минимума.

f(1/3) = (1/3)^3 – 2*(1/3)^2 +1/3 = 4/27.

f(1) = 0.

Нужна помощь в учебе?