Задачи с квадратными уравнениями

Самым простейшим примером можно назвать уравнение свободного падения тела брошенного вертикально вверх, уравнение выглядит следующим образом:

h=v*t – (g*t^2)/2;

Перепишем это уравнение следующим образом:

– (g*t^2)/2 + v*t – h=0;

Получилось квадратное уравнение относительно переменной t, у которого старший коэффициент а=-g/2, b=v и свободный коэффициент c=-h.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Решим несколько задач, которые сводятся к решению квадратных уравнений.

Задача 1. Камень брошен вертикально вверх. Определить через сколько секунд он достигнет высоты 60 метров, если начальная скорость камня была 40 м/с. Ускорение свободного падения взять приближенно равным 10 м/с^2. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение:

Воспользуемся формулой из курса физики, которую мы выписали выше: – (g*t^2)/2 + v*t – h=0;

Подставим в эту формулу имеющиеся у нас величины. Имеем: -5*t^2+40*t -60 =0;

Преобразуем полученное квадратное уравнение к приведенному виду:

t^2 -8*t+12=0.

Получили простое приведенное квадратное уравнение, найдем его корни любым из известных способов. Получим t=2 и t=6.

Это и будет ответом на вопрос задачи. Камень будет находится на высоте 60 метров два раза. Первый раз когда полетит вверх, через 2 секунды, и второй раз, когда полетит сверху вниз, через 6 секунд.

Ответ: t=2 сек. и t=6 сек.

Задача 2.

Известно, что один из катетов прямоугольного треугольника на 4 см. меньше другого, а гипотенуза этого прямоугольного треугольника равна 20 см. Найти длины катетов.

Решение: Решение будем строиться на основании теоремы Пифагора a^2+b^2 = c^2, где a,b – катеты, а c – гипотенуза. Обозначим за х меньший катет. Тогда по условию задачи второй катет равен х+4. Составляем уравнение по теореме Пифагора.

Имеем: x^2 +(x+4)^2 = 20^2;

Раскрывая скобки в полученном уравнении, имеем:

x^2 +(x+4)^2 = 20^2,
x^2+x^2+8*x+16=400,
2*x^2+8*x-384=0;

Получили квадратное уравнение, теперь преобразуем его к приведенному виду:

x^2+4*x-192=0;

Решаем полученное уравнение любым из известных способов. Получаем:

x=-16 и x=12.

Какое же из значение выбрать? Ведь они оба удовлетворяют уравнению которое мы написали. Стоит обратиться снова к условию задачи. Речь идет о длине катета, а она не может быть отрицательным числом. Следовательно ответ х=-16 не удовлетворяет условию задачи.

Значит, верный ответ: 12.

Длина меньшего из катетов равна 12 сантиметров. Следовательно, длина второго катета равна 12+4=16 сантиметров.

Ответ: 12 см; 16 см.

Нужна помощь в учебе?