Одночлены: умножение и возведение в степень

Одночлен: общее понятие

Одночлен это простейшее алгебраической выражение, содержащее произведение чисел и переменных, возведённых в натуральную степень.

Например:      3a^2*b^3 , 3b , 3ac , a^2 , 2 , 0

Два одночлена, которые приведёны к стандартному виду, называются подобными , если они имеют одинаковое постоянное число перед одночленом, если мы сложим подобные одночлены или сложим их степени то это называется приведение подобных членов. Если мы поставим знак умножения между двуми одночленами, то увидим что получим снова одночлен, но нам необходимо привести его к стандартному виду. Возведение в степень также не вызовет сложностей, при этом используется правило работы со степенями.

Умножение одночленов...

Сначала перемножаем постоянные величины, а после складываем степени с одинаковым основанием.

Для начала приведём пример умножения двух одночленов

(2*a^3 * b^5 * c^2 )  * (4* a^2 * b^2 * c^1 ) = 2*4 * a^(3+2) * b ^ (5+ 2) * c ^ (2+1) = 8* a^5 * b^7 * c^3

...и возведение одночлена в степень

Также очень часто перед нами встаёт задача упрощения одночленов, в таком случае мы должны как можно короче записать выражение, для того чтобы упростить нужно возвести в степень или раскроем скобки, также можем встретить выражение с корнями, их мы должны представить в виде переменной в степени.

Например:

(4* a^7 * b^3 * d^1 )^2 = 16* a^14 * b^6 * d^2

(a*b)^ 2 = a^2 * b^2

(a^3)^2 = a^6

( 2*a^3 * b^2 ) * (a^2 * b^2 * c) = 2 * a^5 * b^4 *c

Нередки случаи когда нам нужно разложить сложный одночлен в произведение простых одночленов, решение такой задачи не всегда единственно, ведь мы можем представить 1 одночлен в виде “кучи” произведений примитивных произведений.  

Тут не обойтись без множества примеров

36* a^2* b^4* c^5 = (18^a2) *(2^b^4*c^5);

36*a^2*b^4*c^5 = (36*a*b*c) * (a*b^3*с^4);

36*a^2*b^4*c^5 = (-3*b^4) * (- 12*а^2*с^5);

36*a^2*b^4*c^5 = (2*a^2) * (3*b*c) * (6*b^3*c^4).

Теперь представим одночлен  А в виде В^n, где В  одночлен,  если:

1) A = 32*a^5, n = 5; 

2) A = a^3*b^6. n = 3;

3) A = 49*a^2*b^4*c^6, n = 2;

4) A = -27*a^3*b^9, n = 3;

5) A = 16*a^8*b^5, n = 4.

Решение.

1) Имеем: 32*a^5 = 25*a^5 = (2*a)^5. Значит, A = B^5, где B = 2*a.

2) Имеем: а^3*b^6 = a^3(b^2)^3 = (a*b^2)3. Следовательно, A = B^3, где A = a*b^2.

3) Таккак 49*a^2*b^4*c^6 = 72*a^2(b^2)^2(c^3)^2 = (7*a*b2c3)2, A = B^2, где B = 7*a*b^2*c^3.

4) Поскольку 27*a^3*b^9 = (-3)^3*a^3(b^3)^3 = (-3*a*b^3)^3, заключаем, что A = B^3, где В = -З*a*b^3.

5) Имеем: 16*a^8*b^5 = 24*(a^2)^4*b^5.

Если бы не было множителя b^5, то задача решалась бы без труда:

16*a*8 = 24*(a^2)^4.

Если бы вместо b^5 был множитель b^12, то мы решили бы задачу так:

16*a^8*b^12 = 24*(a^2*b^3)^4.

Oднакo множитель b^5 нельзя представлять  в виде (b^k)^4, где k натуральнoе числo, этот мнoжитель, как гoвoрится, «крушит все делo». Значит, oднoчлен 16*a^8*b^5 нельзя представить в виде B^4, где В некий oднoчлен.

Пример пoказывает, что в математике далекo не все всегда пoлучается, не любая задача имеет стандартнoе решение инoгда мы должны пытаться найти другие пути решения поставленной задачи, которая нередкooказывается сложнoй задачей.

Нужна помощь в учебе?