Решение простейших тригонометрических неравенств

Пример 1. Решить неравенство sin(t) > = -1/2.

Рисуем единичную окружность. Так как sin(t) по определению - это координата y, отмечаем на оси Оу точку у =-1/2. Проводим через неё прямую, параллельную оси Ох. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки Pt1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2. 

Решением данного неравенства будут все точки единичной окружности расположенные выше данных точек. Другими словами решением будет являться дуга l.. Теперь необходимо указать условия, при которых произвольная точка будет принадлежать дуге l.

Pt1 лежит в правой полуокружности, её ордината равна -1/2, тогда t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Для описания точки Pt1 можно записать следующую формулу:
t2 = pi – arcsin(-1/2) = 7*pi/6. В итоге получаем для t следующее неравенство:

- pi/6

Мы сохраняем знаки неравенств. А так как функция синус функция периодичная, значит решения будут повторяться через каждые 2*pi. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ.

Ответ: -pi/6+2*pi*n < = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Пример 2. Решить неравенство cos(t) <1/2.

Нарисуем единичную окружность. Так как согласно определению cos(t) это координата х, отмечаем на грфике на оси Ох точку x = 1/2.
Проводим через эту точку прямую, параллельную оси Оу. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки Pt1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2.

Решениями будут все точки единичной окружности, которые принадлежать дуге l.. Найдем точки t1 и t2. 

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Получили неравенство для t: pi/3<t<5*pi/6.

Так как косинус - это функция периодичная, то решения будут повторяться через каждые 2*pi. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ.

Ответ: pi/3+2*pi*n <t<5*pi/6+2*pi*n, для любого целого n.

Пример 3. Решить неравенство tg(t) < = 1.

Период тангенса равняется pi. Найдем решения, которые принадлежат промежутку (-pi/2;pi/2) правая полуокружность. Далее воспользовавшись периодичностью тангенса, запишем все решения данного неравенства. Нарисуем единичную окружность и отметим на ней линию тангенсов.

Если t будет являться решение неравенства, то ордината точки Т = tg(t) должна быть меньше или равна 1. Множество таких точек будет составлять луч АТ. Множество точек Pt, которые будут соответствовать точкам этого луча – дуга l. Причем, точка P(-pi/2) не принадлежит этой дуге.

Найдем условие, при котором некоторая точка Pt будет принадлежать дуге l.

t1 = arctg(1) = pi/4. 

Получаем неравенство –pi/2 <t< = pi/4. 

Учитывая период тангенса записываем ответ.

Ответ: -pi/2+pi*n<t< =pi/4+pi*n, для любого целого n.

Нужна помощь в учебе?