Логарифмы и их свойства

log_a(b)

Логарифмом числа b по основанию f называется показатель степени, в которую необходимо возвести число а, чтобы получилось число b.

a^(log_a(b)) = b.

Данная формула называется основным логарифмическим тождеством. Она верна для любого положительного не равного единице a, и любого положительного b.

Примеры логарифмов

Рассмотрим несколько примеров:

1. Найти значение log₂(32). 32 можно представить как 2⁵. То есть для того, чтобы нам получить число 32, необходимо двойку возвести в пятую степень. Следовательно, log₂(32) = 5.

2. Найти логарифм числа 1/9 по основанию √3. Так как (√3)⁴ = 1/9, получаем, что log_√3(1/9) = -4.

3. Найти х такое, что будет верно неравенство: log₈(x) = 1/3. Применим основное логарифмическое тождество:

x = 8^(log₈(x)) = 8^(1/8) = 2.

Свойства логарифмов

У логарифмов есть несколько свойств, которые прямо следуют из свойств показательной функции. Основные свойства логарифмов:

1. log_a(1) = 0; 

2. log_a(a) = 1;

3. log_a(x*y) = log_a(x) + log_a(x) - логарифм произведения равен сумме логарифмов;

4. log_x(x/y) = log_a(x) - log_a(y) - логарифм частного равен разности логарифмов;

5. log_a(x^p) = p* log_a(x) - логарифм степени будет равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Приведенные выше свойства будут справедливы для любого положительного числа а, не равного единице, любых положительны x и y, и любого действительного p.

Для логарифмов существует формула перехода к новому основанию:

log_a(x) = (log_b(x))/(log_b(a)).

Данная формула будет иметь смысл лишь в том случае, когда обе её части будут иметь смысл. То есть должны выполняться следующие условия:

x > 0, a > 0,b > 0, a не равно единице, b не равно единице.

Логарифмы основанием которых является число 10, называются десятичными логарифмами. Логарифмы, основанием которых является число e, называются натуральными логарифмами.

Нужна помощь в учебе?