Основное свойство первообразной

Признак постоянства функции

Если на некотором промежутке будет выполняться равенство F’(x) = 0, то тогда функция F на этом промежутке постоянна. Как уже известно, для некоторой функции f существует бесконечное много её первообразных. Все первообразные для некоторой функции f можно записать с помощь общего вида первообразных.

Основное свойство первообразной

Будет справедлива следующая теорема. Теорема: любая первообразная для некоторой функции f на промежутке А может быть записана в виде:

F(x) +C, где F(x) – одна из первообразных для данной функции f на промежутке A, а С – некоторая произвольная постоянная.

Теорема, приведенная выше, называется еще основным свойством первообразной. Разберем её более подробно, так как в ней скрывается целых два свойства первообразной функции.

1. При подстановке любого числа вместо С в эту формулу получим первообразную функции f на промежутке А.

2. Если взять любую первообразную Ф для функции f на некотором промежутке А. То для этой производной можно подобрать некоторое число С, такое что для любого х будет выполняться следующее равенство: Ф(х) = F(x)+C.

Это свойство можно очень наглядно интерпретировать. Графики первообразных одной и той же функции будут получаться один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу. И таких графиков будет бесконечно много.

Посмотрите на следующий рисунок, на нем наглядно показана геометрическая интерпретация всего вышесказанного.

рисунок

Рассмотрим следующий пример: найти общий вид первообразных, для функции f(x) = -x^3 на всей числовой оси.

Одной из первообразных будет являться функция –(x^4)/4, так как (–(x^4)/4)’ = -x^3. Следовательно, по теореме об основном свойстве первообразной, представленной выше, общий вид первообразных для функции f = -x^3 будет следующий:

F(x) = –(x^4)/4 + C.

При нахождении первообразных функции f промежуток, на котором задана функция f, обычно не указывают - для краткости записи. При этом, всегда имеются ввиду такие промежутки, чтобы они были как можно большей длины. 

Нужна помощь в учебе?