Преобразование рациональных выражений

Ниже представлены несколько примеров целых выражений:

1. 12*a³ + 5*(2*a -1);

2. 7*b;

3. 4*y- ((5*y + 3)/5) -1.

Если же в выражении присутствует деление на переменную или на другое выражение содержащее переменную, то такое выражение не является целым. Такое выражение называется дробным. Дадим полное определение дробного выражения.

Дробное выражение - это математическое выражение, которое помимо действий сложения, вычитания и умножения, выполненных с числами и буквенными переменными, а также деления на число не равное нулю, содержит так же деление на выражения с буквенными переменными.

Примеры дробных выражений:

1. (12*a³ + 4)/a;

2. 7/(x + 3);

3. 4*x - ((5*y + 3)/(5 - y)) + 1.

Дробные и целые выражения составляют два больших множества математических выражений. Если эти множества объединить, то получим новое множество, которое называется рациональными выражениями. Таким образом, рациональные выражения - это все целые и дробные выражения.

Одним из частных случаев рациональных выражений будет являться дробь, числитель и знаменатель которой многочлены. Для такой дроби в математике тоже существует свое название – рациональная дробь. Рациональная дробь будет иметь смысл в том случае, если её знаменатель не равен нулю. То есть допустимыми будут являться все значения переменных, при которых знаменатель дроби отличен от нуля.

Преобразование рациональных выражений

Преобразование рациональных выражений всегда можно свести сложению, вычитанию, делению и умножению рациональных дробей.
Как мы уже знаем, сумму, разность, произведение и частное рациональных дробей всегда можно представить в виде некоторой рациональной дроби.

Это напрямую следует из правил проведения действий с дробями. Из этого факта следует, что любое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби. Рассмотрим следующий пример преобразования рационального выражения:

x + 1 – (1/(x + 2))*(x² - 4/x).

Первым действием выполним умножение дробей:

(1/(x + 2))*(x² - 4/x) = (x² - 4)/((x + 2)*x) = ((x + 2)*(x - 2))/((x + 2)*x) = (x - 2)/x

Теперь вычтем полученный результат из многочлена (х + 1):

X + 1 – (x - 2)/x = (x*(x + 1) - (x - 2))/x = (x² + x - x + 1)/x = (x² + 2)/x. 

Таким образом, мы преобразовали рациональное выражение к виду рациональной дроби.

Ответ: x + 1 – (1/(x + 2))*(x² - 4/x) = (x² + 2)/x.

Стоит отметить, что преобразования могут вестись различными путями, но при этом всегда будет получать одинаковые результаты.

Нужна помощь в учебе?