Решение неравенств второй степени с одной переменной

Решение. Так как стороны увеличили на одно и тоже число, обозначим это число за х. Теперь можем записать формулы сторон нового прямоугольника.

(2+х) см и (3+х) см. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, следовательно (2+х)*(3+х) см². 

Исходя из условия задачи, имеем: (2+х)*(3+х)>12.

Раскрывая скобки, получим: х² + 5*x+6>12 или , что эквивалентно х² + 5*x-6>0.

Теперь разложим левую часть этого неравенства на множители, получим:

• (х+6)*(х+1) > 0.

По условию задачи, х положительное число. Следовательно (х+6) тоже положительное число, а значит на него можно поделить наше неравенство. Поделим обе части неравенства на (х+6).

Получим х-1>0. Следовательно х>1. Возвращаясь к исходным данным запишем ответ.

Ответ: каждую из сторон увеличили больше чем на 1 см.

В результате решения, мы получили неравенство х² + 5*x-6>0. Данное неравенство называется неравенство второй степени с одной переменной. Так же его можно назвать квадратным неравенством.

Определение неравенств второй степени с одной переменной

• Квадратным неравенством называется неравенство, в левой части которого стоит квадратный трехчлен, а в правой части число нуль.

Вот, несколько примеров квадратных неравенств:

• 1. х² + 5*x-6>0
• 2. 5*х² - 5*x+2<=0
• 3. -2*x²+34*x-18>0.

Условие решения квадратных неравенств

Решением неравенства второй степени с одним неизвестным называется такое значение не известной, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Когда говорят решить неравенство, подразумевают найти все его решения, либо установить что неравенство не имеет решений.

Рассмотрим еще один пример.

Решить неравенство x²-5*x+6 > 0.

Решение.

Сначала решим квадратное уравнение x²-5*x+6=0, любым из известных способов. Его корни равны х=2 и х=3. 

Теперь разложим трехчлен x²-5*x+6  на множители. Получим

• (х-2)*(х-3).

Перепишем исходное неравенство

•  (х-2)*(х-3)>0.

Произведение двух сомножителей будет положительным, если обо сомножителя имеют одинаковый знак, то есть либо оба сомножителя больше нуля, либо оба сомножителя меньше нуля.

• Рассмотрим два случая. 

1. Оба сомножителя больше нуля.

Получаем систему уравнений.

{x-2>0
{x-3>0

Решаем её и получаем ответ х>3.

2. Оба сомножителя меньше нуля.

Получаем систему уравнений

{x-2<0
{x-3<0

Решаем её и получаем ответ х<2.

Объединяем оба полученных ответа, и записываем общий ответ.

Ответ: х3.

Нужна помощь в учебе?