Решение показательных уравнений и неравенств

Решение показательных уравнений

Из свойств показательной функции знаем, что ее область значений ограничена положительными вещественными числами. Тогда если b = 0, уравнение не имеет решений. Такая же ситуация имеет место быть, в уравнении где b

Теперь положим, что b>0. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0<a

Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение a^x = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = a^c.
Тогда очевидно, что с будет являться решением уравнения a^x = a^c.

Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5^{(x2 - 2*x - 1)} = 25.

Представим 25 как 5², получим:

5^{(x2 - 2*x - 1)} = 5².

Или что равносильно :

x² - 2*x - 1 = 2.

Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1.

Ответ: 3;-1.

Решим уравнение 4^x – 5*2^x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2^x и получим следующее квадратное уравнение:

t² - 5*t + 4 = 0.
Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4

Теперь решаем уравнения 2^x = 1 и 2^x = 4.

Ответ: 0;2.

Решение показательных неравенств

Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0<a<1, то данная функция будет убывающей на всем множестве вещественных чисел.

Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5)^{(7 - 3*x)} < 4.

Заметим, что 4 = (0.5)². Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 - 3*x) < (0.5)^(-2). Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Получим: 7 - 3*x>-2.

Отсюда: х<3.

Ответ: х<3.

Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.

Нужна помощь в учебе?