Формулы для вычисления координат точки

Попробуем выразить координаты точки А через длину отрезка ОА и угол а между лучом ОА и положительным направлением оси Ох. На рисунке добавим единичную полуокружность, и отметим на ней точку пересечения с лучом ОА. Так как мы рассматриваем только положительные значения ординаты, то угол а будет всегда принадлежать промежутку от 0 градусов до 180 градусов.

Нам уже известно, что для любого угла а принадлежащего промежутку от 0 до 180 градусов синусом угла а называется ордината у точки М, а косинусом угла а называется абсцисса х точки М.

Тогда имеем:

sin(a) = у,

cos(a) = х.

По определению вектора, координаты вектора ОМ будут равны координатам точки М, то есть вектор ОМ = {cos(a); y = sin(a)}. По определению вектора, вектор ОА будет иметь такие же координаты, как и сама точка А, то есть вектор ОА = {х;у}. С другой стороны, вектор ОА будет равен произведению длинны отрезка ОА на вектор ОМ.

Вектор ОА = ОА*(вектор ОМ). Следовательно, координаты точки можно выразить с помощью следующих формул:

х = ОА*cos(a),

y = OA*sin(a).

Задача:

Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительным направлением оси Ох равен а. Найдите координаты точки А, если а) ОА = 3, а = 45˚ б) ОА = 1.5, а = 90˚ в)ОА = 2, а = 30˚

Решение:

Воспользуемся формулами для вычисления координат точки, которые мы получили выше: 

х = ОА*cos(a),

y = OA*sin(a).

Где х и у будут искомыми координатами точки А.

Теперь будем производить вычисления:

а) ОА = 3, а = 45˚, sin(a) = √2/2, cos(a) = √2/2;

x = 3*√2/2 = (3*√2)/2, y = 3*√2/2 = (3*√2)/2. 

A((3*√2)/2; (3*√2)/2).

б) ОА = 1.5, а = 90˚, sin 90˚= 1, cos 90˚= 0;

x = 1.5*0 = 0, y = 1.5*1 = 1.5;

A(0;1.5).

в) ОА = 2, а = 30˚, sin 30˚=1/2, cos 30˚= √3/2;

x = 2*√3/2 = √3, y = 2*1/2=1;

A(√3;1).

Ответ: а) A((3*√2)/2; (3*√2)/2).

б) A(0;1.5).

в) A(√3;1).

Нужна помощь в учебе?