Теорема о трёх перпендикулярах

Рассмотрим следующий рисунок.

AH - перпендикулярен плоскости α. AM это наклонная в плоскости α; a - прямая, проведенная в плоскости α через точку М перпендикулярно к проекции HM наклонной. Теперь, докажем, что прямая а перпендикулярна АМ. Для этого рассмотрим плоскость AMH.

По условию прямая а перпендикулярна НМ. Также прямая а перпендикулярна АН, так как АН перпендикулярна плоскости α. Прямые НМ и АН принадлежат плоскости АНМ и пересекаются. Из этих трех пунктов следует, что прямая а перпендикулярна плоскости АМН, значит, она перпендикулярна любой прямой, которая принадлежит плоскости АМН.

Так как прямая АМ принадлежит плоскости АМН, значит прямая a и прямая АМ перпендикулярны между собой. Что и требовалось доказать.

Так как в теореме присутствуют три перпендикуляра, АН, НМ и АМ, теорема называется теоремой о трех перпендикулярах. Все три прямых угла показаны на рисунке, который приведен в начале доказательства. Помимо основной теоремы о трех перпендикулярах, существует и обратная теорема о трех перпендикулярах.

Обратная теорема 

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.

Задача. Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ = АС = 5см, ВС = 6 см, AD = 12 см. Найти расстояние от точки А до прямой ВС.

Решение.

Пусть точка Е это середина ВС. Тогда ВС будет перпендикулярным АЕ. То есть АЕ будет расстояние от точки А до прямой ВС.

ЕА является проекцией DE на плоскость АВС. АЕ перпендикулярен ВС, а следовательно по теореме о трех перпендикулярах DE будет перпендикулярен BC. Получаем, что DE - это расстояние от точки D до отрезка BC. Теперь будем определять AE.

ВЕ = (1/2)*ВС = 3 см.

Так как треугольник АВЕ прямоугольный, то можем по теореме Пифагора найти АЕ.

АЕ^2 = AB^2-BE^2 = 25-9 = 16, следовательно, АЕ = 4 см.

Ответ. 4 см.

Нужна помощь в учебе?