Wiki-учебник
Что такое Wiki-учебник?МатематикаРусский языкГеометрияФизикаАнглийский языкЛитератураГеографияОбществознаниеИстория
Поиск по сайтуРеклама от партнёров: |
Главная > 
Wiki-учебник > 
Геометрия > 10 класс > Теорема о трех перпендикулярах и обратная ей теорема
Теорема о трёх перпендикулярах
Прямая теоремаТеорема. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. Рассмотрим следующий рисунок. AH - перпендикулярен плоскости α. AM это наклонная в плоскости α; a - прямая, проведенная в плоскости α через точку М перпендикулярно к проекции HM наклонной. Теперь, докажем, что прямая а перпендикулярна АМ. Для этого рассмотрим плоскость AMH. По условию прямая а перпендикулярна НМ. Также прямая а перпендикулярна АН, так как АН перпендикулярна плоскости α. Прямые НМ и АН принадлежат плоскости АНМ и пересекаются. Из этих трех пунктов следует, что прямая а перпендикулярна плоскости АМН, значит, она перпендикулярна любой прямой, которая принадлежит плоскости АМН. Так как прямая АМ принадлежит плоскости АМН, значит прямая a и прямая АМ перпендикулярны между собой. Что и требовалось доказать. Так как в теореме присутствуют три перпендикуляра, АН, НМ и АМ, теорема называется теоремой о трех перпендикулярах. Все три прямых угла показаны на рисунке, который приведен в начале доказательства. Помимо основной теоремы о трех перпендикулярах, существует и обратная теорема о трех перпендикулярах. Обратная теоремаПрямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции. Задача. Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ = АС = 5см, ВС = 6 см, AD = 12 см. Найти расстояние от точки А до прямой ВС. Решение. Пусть точка Е это середина ВС. Тогда ВС будет перпендикулярным АЕ. То есть АЕ будет расстояние от точки А до прямой ВС. ЕА является проекцией DE на плоскость АВС. АЕ перпендикулярен ВС, а следовательно по теореме о трех перпендикулярах DE будет перпендикулярен BC. Получаем, что DE - это расстояние от точки D до отрезка BC. Теперь будем определять AE. ВЕ = (1/2)*ВС = 3 см. Так как треугольник АВЕ прямоугольный, то можем по теореме Пифагора найти АЕ. АЕ^2 = AB^2-BE^2 = 25-9 = 16, следовательно, АЕ = 4 см. Ответ. 4 см. Нужна помощь в учебе?Предыдущая тема: Прямые: пересекающиеся и параллельные Следующая тема:   Календарные праздники: зачем человеку праздники
|