Формулы двойного угла

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) – sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1–tg(a)*tg(b)).

Положим в этих формулах a = b. В результате получим следующие тождества:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a))² – (sin(a))².

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a))²).

Данные тождества получили название формул двойного угла. Рассмотрим несколько примеров применения формул двойного угла.

Пример 1. Найти значение sin(2*a), зная, что cos(a) = -0,8 и a - угол 3 четверти. Решение:

Сначала вычислим sin(a). Так как угол а третья четверть, то синус в третей четверти будет отрицательным:

sin(a) = -v(1-(cos(a))²) = -v(1-0,64) = -v0,36 = -0,6.

По формуле синуса двойного угла имеем:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0,6)*(-0,8) = 0,96.

Ответ: sin(2*a) = 0,96.

Пример 2. Упростить выражение sin(a)*(cos(a))³ – (sin(a))³*cos(a). Решение:

Вынесем за скобки sin(a)*cos(a). Получим:

sin(a)*(cos(a))³ – (sin(a))³*cos(a) = sin(a)*cos(a)*( cos(a))² – (sin(a))²).

Теперь воспользуемся формулами двойного угла:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1/4)*sin(4*a).

Ответ: sin(a)*(cos(a))³ – (sin(a))³*cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

Используя формулы двойного угла можно получить следующие выражения

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a))²,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a))².

Иногда при решении примеров бывает очень удобно использовать эти формулы. Рассмотрим следующий пример:

Пример 3. Упростить выражение (1-cos(a))/(1+cos(a)). Решение:

Применим формулы, записанные выше, для выражений (1-cos(a)) и (1+cos(a)). Для этого прежде представим угол а в виде следующего произведения 2*(a/2).

В результате преобразований получаем:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2))²)/(2*(cos(a/2))²),

Используя определение тангенса имеем:

(2*(sin(a/2))²)/(2*(cos(a/2))²)= (tg(a/2))².

Ответ: (1-cos(a))/(1+cos(a) )= (tg(a/2))². 

Нужна помощь в учебе?