Определение корня n-ой степени

• x⁴-16=0

или используя формулу разности квадратов так:

• (x²-4)*(x²+4)=0.

Произведение двух сомножителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю.

Выражение x² +4 не может равняться нулю,  следовательно, остается  только (x²-4)=0.

Решаем его, получаем два ответа.

Ответ: x=-2 и x=2.

Получили, что уравнение x⁴=16 имеет только 2 действительных корня. Это корни четвертой степени из числа 16. Причем положительный корень, называют арифметическим корнем 4 степени из числа 16. И обозначают 4√16. То есть  4√16=2.

Определение

• Арифметическим корнем натуральной степени n>=2 из неотрицательного числа а называется некоторое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число а.

Можно доказать, что для любого неотрицательного а и натурального n  уравнение xⁿ=a будет иметь один единственный неотрицательный корень. Именно этот корень и называют арифметическим корнем n-ой степени из числа а.

Арифметический корень n-ой степени из числа а обозначается следующим образом n√a.

Число а в данном случае называется подкоренным выражением.

В случае когда n=2, двойку не пишут, а записывают просто √а.

Арифметические корни второй и третей степени имеют свои специальные названия.

Арифметический корень второй  степени называется квадратным корнем, а арифметический корень третей степени – кубическим корнем.

Используя только ишь определение арифметического корня, можно доказать, что n√a равен b. Для этого нужно показать, что:

• 1. b больше либо равно нулю.
• 2. bⁿ =a.

Например, 3√(64) = 4, так как 1. 4>0, 2. 4³ =64. 

Следствие из определения арифметического корня.

• (n√a)ⁿ = a. 
• n√(aⁿ) = a.

Например, (5√2)⁵ = 2.

Извлечение корня n-ой степени

Извлечением корня n-ой степени называется действие, с помощью которого отыскивается корень n-ой степени. Извлечение корня n-ой степени является обратным действием к возведению в n-ую  степень.

Рассмотрим пример.

Решить уравнение x³ = -27.

Перепишем это уравнение в виде (-x)³=27.

Положим у=-х, тогда y³=27. Это уравнение имеет один положительный корень y= 3√27 = 3.

Отрицательных корней у этого уравнения нет, так как y³

Получаем, что уравнение у³ =27 имеет только один корень.

Возвращаясь к исходному уравнению, получаем, что оно имеет тоже только один корень x=-y=-3.

Ответ: х=-3.

Нужна помощь в учебе?