Определение степени с дробным показателем

Воспользуемся свойствами корня и степени числа. 5¹² = (5³)⁴, следовательно, можем записать условие следующим образом:

• 4√((5³)⁴) = (4√(5³))⁴ = 5³ = 125.

Таким образом получаем, что 4√(5¹²) = 5^(12/4). Так же можно показать, что, например, 

• 5√(3^(-4)) = 3^(-4/3).

Доказательство

• Если n некоторое натуральное число, причем n больше либо равно 2, m – некоторое целое число, и частное m/n будет являться целым числом, то при а >0 справедливо следующее равенство: n√(a^m) = a^(m/n).

Докажем этот факт. m/n – некоторое целое число (по условию), то есть в результате деления мы получим целое k (m/n = k). Тогда можно записать, что m=k*n.  Далее, применяя свойства степени и арифметического корня получим:

• n√ (a^m) = n√(a^(n*k)) =n√((a^k)ⁿ) = a^k  = a^(m/n).

То есть n√(a^m) = a^(m/n). Что и требовалось доказать.

Если же при делении m на n получится не целое число, то степень вида a^(m/n), где а>0,  определяют таким образом, чтобы формула написанная выше ( n√(a^m) = a^(m/n) ), оставалась верной.

• То есть, формула n√(a^m) = a^(m/n) будет справедлива для любого целого числа m, любого натурального числа n больше либо равного двум и а>0.

Например, 

• 16^(3/4) = 4√(16³) = 4√(2¹²) = 2³ = 8.
• 7^(5/4) = 4√(7⁵) = 4√((7⁴)*7) = 7*4√7.

Как мы уже знаем, числа вида m/n, где n – некоторое натуральное число, а m – некоторое целое число, называют дробными или рациональными числами.

Из всего вышесказанного получаем, что степень определена, для любого рационального показателя степени и любого положительного основания степени.

Особенности

Стоит отметить, что если рациональное число в показателе будет положительным, то выражение n√(a^m) будет иметь  смысл не только при положительных а, но и при а равном нулю.

• n√(0^m) = 0.

Поэтому, в математике считается, что при m/n > 0 выполняется равенство 0^(m/n) = 0.

Отметим также, что при любом целом, любых натуральных m и n, и положительном а верно следующее равенство:

a^(m/n) = a^((mk)/(nk)).

Например, 134^(3/4) = 134^(6/8) = 134^(9/12). 

Нужна помощь в учебе?