Преобразования выражений, содержащих степень с дробным показателем

Как мы уже знаем, числа вида m/n, где n – некоторое натуральное число, а m – некоторое целое число, называют дробными или рациональными числами. Из всего вышесказанного получаем, что степень определена, для любого рационального показателя степени и любого положительного основания степени.

Для любых рациональных чисел p,q и любых a>0 и b>0 верны следующие равенства:

• 1. (a^p)*(a^q) = a^(p+q)
• 2.  (a^p):(b^q) = a^(p-q)
• 3. (a^p)^q = a^(p*q)
• 4. (a*b)^p = (a^p)*(b^p)
• 5. (a/b)^p = (a^p)/(b^p)

Данные свойства широко используются при преобразовании различных выражений, где содержатся степени с дробными показателями.

Примеры преобразований выражений, содержащих степень с дробным показателем

Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение этих свойств для преобразования выражений.

1. Вычислить 7^(1/4) * 7^(3/4).

• 7^(1/4) * 7^(3/4) = z^{(1/4 + 3/4)} = 7.

2. Вычислить 9^(2/3) : 9^(1/6).

• 9^(2/3) : 9^(1/6) = 9^{(2/3 - 1/6)} = 9^(1/2) = √9 = 3.

3. Вычислить (16^(1/3))^(9/4).

• (16^(1/3))^(9/4) = 16^{((1/3)*(9/4))}=16^(3/4) = (2⁴)^(3/4) = 2^(4*3/4) = 2³ = 8.

4. Вычислить 24^(2/3).

• 24^(2/3) = ((2³)*3)^(2/3) = (2^(2*2/3))*3^(2/3) = 4*3√(3²)=4*3√9.

5. Вычислить (8/27)^(1/3).

• (8/27)^(1/3) = (8^(1/3))/(27^(1/3)) = ((2³)^(1/3))/((3³)^(1/3))= 2/3.

6. Упростить выражение ((a^(4/3))*b + a*b^(4/3))/(3√a + 3√b)

• ((a^(4/3))*b + a*b^(4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a^(1/3) + b^(1/3)))/(1/3) + b^(1/3)) = a*b.

7. Вычислить (25^(1/5))*(125^(1/5)).

• (25^(1/5))*(125^(1/5)) =(25*125)^(1/5) = (5⁵)^(1/5) = 5.

8. Упростить выражение 

• (a^(1/3) – a^(7/3))/( a^(1/3) – a^(4/3)) – (a^(-1/3) – a^(5/3))/(a^(2/3) + a^(-1/3)).
• (a^(1/3) – a^(7/3))/( a^(1/3) – a^(4/3)) – (a^(-1/3) – a^(5/3))/(a^(2/3) + a^(-1/3)) =
• = ((a^(1/3))*(1-a²))/((a^(1/3))*(1-a)) - ((a^(-1/3))*(1-a²))/ ((a^(-1/3))*(1+a)) = 
• = 1 +a – (1-a) = 2*a.

Как видите используя эти свойства, можно значительно упростить некоторые выражения, которые содержат степени с дробными показателями.

Нужна помощь в учебе?