Производная и первообразная логарифмической функции

Здесь и далее для обозначения логарифма мы будем использовать следующую нотацию: log_a(b) - данная запись будет обозначать логарифм b по основанию а.

Показательная функция дифференцируема в любой точке своей области определения. Производная показательной функции не обращается в нуль. Следовательно, график показательной функции, в каждой точке через которую он проходит, имеет негоризонтальную касательную.

Следовательно, график логарифмической функции имеет в каждой точке, через которую он проходит невертикальную касательную. Из этого факта можно заключить, что логарифмическая функция дифференцируема на всей своей области определения.

Формула для вычисления производной логарифмической функции: ln'(x) = 1/x. Данная формула будет справедлива для любого х из области определения логарифмической функции.

Примеры:

Пример 1. Найти производную функции y = ln(5+2*x). По формуле, приведенной выше, имеем: 

(ln(5+2*x))’ = (1/(5+2*x))*(5+2*x) = 2/(5+2*x)

Пример 2. Найти производную функции y = log₃(x). Воспользуемся формулой перехода к новому основанию, а потом формулой полученной выше:

(log₃(x))’ = ((ln(x))/(ln(3)))’ = 1/(x*ln(3));

Первообразная логарифмической функции

Согласно формуле для вычисления производной логарифмической функции, можем утверждать, что для функции 1/x на промежутке (0;∞) любая первообразная может быть записана в виде ln(x) +C.

Так как |x| = х при х>0 и |x|= -x при xдля любого промежутка, не содержащего точку 0, первообразной для функции 1/х будет являться функция ln|x|.

Например, первообразная для функции 1/(x + 3) на любом промежутке не содержащем точку х = -3, будут вычисляться по следующей формуле |x + 3| + C.

Для функции 1/(5*x + 7) на любом промежутке, не содержащем точку –(5/7), общий вид первообразных представлен формулой (1/5)*ln|5*x + 7| + C.

Нужна помощь в учебе?