Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Соотношение между косинусом и синусом одного и того же угла

На следующем рисунке представлена система координат Оху с изображенной в ней частью единичной полуокружности ACB  с центром в точке О. Эта часть является дугой единичной окружности. Единичная окружность описывается уравнением 

• x²+y²=1.

Как уже известно ординату у и абсциссу х можно представить в виде синуса и косинуса угла по следующим формулам:

• sin(a) = у, 
• cos(a) = х.

Подставив эти значения в уравнения единичной окружности имеем следующее равенство

• (sin(a))² + (cos(a))² =1,

Данное равенство, выполняется при любых значениях угла а. Оно называется основное тригонометрическое тождество.

Из основного тригонометрического тождества, можно выразить одну функцию через другую.

• sin(a) = ±√(1-(cos(a))²),
• cos(a) = ±√(1-(sin(a))²).

Знак в правой части этой формулы определяется знаком выражения, которое стоит в левой части этой формулы.

Например.

Вычислить sin(a), если cos(a)=-3/5 и pi<a<3*pi/2.

Воспользуемся формулой приведенной выше:

• sin(a) = ±√(1-(cos(a))²).

Так как pi<a<3*pi/2, это 3 четверть, то знак перед корнем будет «минус». Sin  в третьей четверти отрицателен.

• sin(a) = ±√(1-(cos(a))²) = - √(1 – 9/25) = - 4/5.

Соотношение между тангенсом и котангенсом одного и того же угла

Теперь, попробуем найти зависимость, между тангенсом и котангенсов.

По определению tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a).

Перемножим эти равенства, получим tg(a)*ctg(a) =1.

Из этого равенства можно выразить одну функцию через другую. Получим:

• tg(a) = 1/ctg(a),
• ctg(a) = 1/tg(a).

Следует понимать, что эти равенства справедливы лишь тогда, когда tg и ctg существуют, то есть для любых а, кроме а=k*pi/2, при любом целом k.

Теперь попробуем используя основное тригонометрическое тождество найти зависимости между тангенсом и косинусом.

Поделим основное тригонометрическое тождество, на (cos(a))².  (cos(a) не равен нулю, иначе бы тангенс не существовал бы.

Получим следующее равенство ((sin(a))² + (cos(a))²)/ (cos(a))² =1/(cos(a))².

Разделив почленно получаем:

• 1+(tg(a))² = 1/(cos(a))².

Как уже отмечалось выше, эта формула верна если cos(a)  не равен нулю, то есть для всех углов а, кроме а=pi/2 +pi*k,  при любом целом k.

Нужна помощь в учебе?