Степень с рациональным показателем

Свойства степеней

Основные свойства степеней с целым показателем:

a^m *aⁿ = a^(m+n);

a^m : aⁿ = a^(m-n) ( при a не равном нулю);

(a^m)ⁿ = a^(m*n);

(a*b)ⁿ = aⁿ *bⁿ;

(a/b)ⁿ = (aⁿ)/(bⁿ) (при b не равном нулю);

a¹ = a;

a⁰ = 1 ( при a не равном нулю);

Эти свойства будут справедливы для любых чисел a, b и любых целых чисел m и n. Стоит отметить также следующее свойство:

Если m>n, то a^m > aⁿ, при a>1 и a^m

Можно обобщить понятие степени числа на случаи, когда в качестве показателя степени выступают рациональные числа. При этом хотелось бы, чтобы выполнялись все выше перечисленные свойства или хотя бы часть из них.

Например, при выполнении свойства (a^m)ⁿ = a^(m*n) выполнялось бы следующее равенство:

(a^(m/n))ⁿ = a^m.

Это равенство означает, что число a^(m/n) должно являться корнем n-ой степени из числа a^m.

Степенью некоторого числа a (большего нуля) с рациональным показателем r = (m/n), где m – некоторое целое число, n – некоторое натурально число большее единицы, называется число n√(a^m). Исходя из определения: a^(m/n) = n√(a^m).

Для всех положительных r будет определена степень числа нуль. По определению 0^r = 0. Отметим также, что при любом целом, любых натуральных m и n, и положительном а верно следующее равенство: a^(m/n) = a^((mk)/(nk)).

Например: 134^(3/4) = 134^(6/8) = 134^(9/12).

Из определения степени с рациональным показателем напрямую следует тот факт, что для любого положительного а и любого рационального r число a^r будет положительным.

Основные свойства степени с рациональным показателем

Для любых рациональных чисел p, q и любых a>0 и b>0 верны следующие равенства:

1. (a^p)*(a^q) = a^(p+q);

2. (a^p):(b^q) = a^(p-q);

3. (a^p)^q = a^(p*q);

4. (a*b)^p = (a^p)*(b^p);

5. (a/b)^p = (a^p)/(b^p).

Данные свойства вытекают из свойств корней. Все данные свойства доказываются аналогичным способом, поэтому ограничимся доказательством только одного из них, например, первого (a^p)*(a^q) = a^{(p + q)}.

Пусть p = m/n, a q = k/l, где n, l - некоторые натуральные числа, а m, k – некоторые целые числа. Тогда нужно доказать, что:

(a^(m/n))*(a^(k/l)) = a^{((m/n) + (k/l))}.

Сначала приведем дроби m/n k/l к общему знаменателю. Получим дроби (m*l)/(n*l) и (k*n)/(n*l). Перепишем левую часть равенства с помощью этих обозначений и получим:

(a^(m/n))*(a^(k/l)) = (a^{((m*l)/(n*l))})*(a^{((k*n)/(n*l))}).

Далее, используя определение степени с рациональным показателем, свойства степени с целым показателем и свойства корня, получим:

(a^(m/n))*(a^(k/l)) = (a^{((m*l)/(n*l))})*(a^{((k*n)/(n*l))}) = (n*l)√(a^(m*l))*(n*l)√(a^(k*n)) = (n*l)√( (a^(m*l))*(a^(k*n))) = (n*l)√(a^(m*l+k*n)) = a^{((m*l+k*n)/(n*l))} = a^{((m/n)+(k/l))}.

То есть получили, что (a^(m/n))*(a^(k/l)) = a^{((m/n)+(k/l))}, что и требовалось доказать.

Нужна помощь в учебе?