Целое уравнение и его корни

1. 2*(x² + 1)*(x - 1) = 6*x - (x + 7);

2. (x⁴ - 1)/4 - (x² + 1)/2 = 3*x²

Выполним над этими уравнениями равносильные преобразования: раскроем скобки, приведем подобные слагаемые. Получим:

1. 2*x³ – 2*x² + 2*x - 2 = 6x - x - 7

2*x³ – 2*x² + 2*x - 2 - 6*x + x + 7 = 0

2*x³ - 2*x² - 3*x + 5 = 0.

2. x⁴ - 1 - 2*(x² + 1) = 12*x²

x⁴ - 1 - 2*x² - 2 = 12*x²

x⁴ - 1 - 2*x² - 2 - 12*x² = 0

x⁴ - 14*x² - 3 = 0.

В результате получили уравнения вида P(x) = 0, где P(x) – многочлен в стандартном виде. Степень этого многочлена будет также являться степенью уравнения.

Степень уравнения

Степенью произвольного уравнения будет называться степень многочлена, полученного из уравнения путем проведения равносильных преобразований. Уравнения первой степени всегда будут приводимы к виду a*x + b = 0, где х - некоторая переменная, а и b – некоторые числа, причем а не должно равняться нулю.

Из этого уравнения получаем выражение для х.

х = -b/a.

Это число (-b/a) называется корнем уравнения. Уравнение первой степени будет иметь один корень. Корнем уравнения P(x) =0 называют любое значение переменной х, такое, что многочлен P(x) обращается в нуль.

Уравнения второй степени всегда можно привести к виду a*x² + b*x + x = 0, где х – некоторая независимая переменная, а а, b, c – произвольные числа, причем а не равняется нулю. Корни уравнения находятся по формуле x = (-b ± √D)/(2*a), где D = b² - 4*a*c.

Выражение D (b² - 4*a*c) называется дискриминантом. В зависимости от того, какое значение имеет дискриминант, квадратное уравнение будет иметь два или один корень либо не иметь корней.

Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня: (x = (-b ± √D)/(2*a)). Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень: (x = (-b/(2*a)). Если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет корней.

Уравнения третей степени можно привести к виду a*x³ + b*x² + c*x + d = 0. Уравнение четвертой степени можно привести к виду a*x⁴ + b*x³ + c*x² + d*x + e = 0.

Любое уравнение n-ой степени имеет не более n корней. Формулы для корней уравнений третьей и четвертой степени известны, но они очень сложны. Для уравнений больших степеней формул корней не существует.

Нужна помощь в учебе?