Производная и первообразная показательной функции

Отобразим в одних координатных осях несколько графиков функции y = x^a, Для а = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4. 

В точке с координатами (0;1). Углы наклона этих касательных будут равны приблизительно 35, 40, 48 и 51 градусов соответственно. Логично предположить, что на интервале от 2 до 3 существует число, при котором угол наклона касательной будет равен 45 градусов.

Дадим точную формулировку этого утверждения: существует такое число большее 2 и меньшее 3, обозначаемое буквой е, что показательная функция y = e^x в точке 0, имеет производную равную 1. То есть: ^(e∆x-1) / _∆x стремится к 1 при стремлении ∆х к нулю.

Данное число e является иррациональным и записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дробью:

e = 2,7182818284…

Так как число е положительно и отлично от нуля, то существует логарифм по основанию e. Данный логарифм называется натуральным логарифмом. Обозначается ln(x) = log_e(x).

Производная показательной функции

Теорема: Функция e^x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и (e^x)’ = e^x.

Показательная функция a^x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и причем (a^x)’ = (a^x)*ln(a).
Следствием из этой теоремы является тот факт, что показательная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Пример: найти производную функции y = 2^x.

По формуле производной показательной функции получаем:

(2^x)’ = (2^x)*ln(2).

Ответ: (2^x)*ln(2).

Первообразная показательной функции

Для показательной функции a^x заданной на множестве вещественных чисел первообразной будет являться функция (a^x)/(ln(a)).
ln(a) – некоторая постоянная, тогда (a^x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a^x) * ln(a) = a^x для любого х. Мы доказали эту теорему.

Рассмотрим пример на нахождение первообразной показательной функции.

Пример: найти первообразную к функции f(x) = 5^x. Воспользуемся формулой приведенной выше и правилами нахождения первообразных. Получим: F(x) = (5^x) / (ln(5)) +C.

Ответ: (5^x) / (ln(5)) + C.

Нужна помощь в учебе?