Уравнения, приводимые к квадратным

Биквадратные уравнения

Биквадратные уравнения - это уравнения вида a*x^4 + b*x^2 + c = 0, где a не равно 0.

Биквадратные уравнения решаются с помощью подстановки x^2 =t. После такой подстановки, получим квадратное уравнении относительно t. a*t^2+b*t+c=0. Решаем полученное уравнение, имеем в общем случае t1 и t2. Если на этом этапе получился отрицательный корень, его можно исключить из решения, так как мы брали t=x^2, а квадрат любого числа есть число положительное.

Возвращаясь к исходным переменным, имеем x^2 =t1, x^2=t2.

х1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Разберем небольшой пример:

9*x^4+5*x^2 – 4 = 0.

Введем замену t=x^2. Тогда исходное уравнение примет следующий вид:

9*t^2+5*t-4=0.

Решаем это квадратное уравнение любым из известных способов, находим:

t1=4/9, t2=-1.

Корень -1 не подходит, так как уравнение x^2 = -1 не имеет смысла.

Остается второй корень 4/9. Переходя к исходным переменным имеем следующее уравнение:

x^2 = 4/9.

x1=-2/3, x2=2/3.

Это и будет решением уравнения.

Ответ: x1=-2/3, x2=2/3.

Еще один из видов уравнений, приводимых к квадратным, являются дробные рациональные уравнения. Рациональные уравнения - это уравнения у которых левая и правые части являются рациональными выражениями. Если в рациональном уравнении левая или правая части будут являться дробными выражениями, то такое рациональное уравнение называется дробным.

Схема решения дробного рационального уравнения

Общая схема решения дробного рационального уравнения.

1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Рассмотрим пример:

Решить дробное рациональное уравнение: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Будем придерживаться общей схемы. Найдем сначала общий знаменатель всех дробей.

Получим x*(x-5).

Умножим каждую дробь на общий знаменатель и запишем полученное целое уравнение.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Упростим полученное уравнение. Получим,

x^2+3*x + x-5 – x - 5 =0;

x^2+3*x-10=0;

Получили простое приведенное квадратное уравнение. Решаем его любым из известных способов, получаем корни x=-2 и x=5. Теперь производим проверку полученных решений. Подставляем числа -2 и 5 в общий знаменатель.

При х=-2 общий знаменатель x*(x-5) не обращается в нуль, -2*(-2-5)=14. Значит число -2 буде являться корнем исходного дробного рационального уравнения.

При х=5 общий знаменатель x*(x-5) становится равным нулю. Следовательно, это число не является корнем исходного дробного рационального уравнения, так как там будет деление на нуль.

Ответ: х=-2.

Нужна помощь в учебе?